Zima nam je donela sneg i pahulje. Ovo je kratka priča o čudnoj Kohovoj pahulji koja ima beskonačan obim i konačnu površinu.
Kohova pahulja je naziv za oblike koji se dobijaju posebnim postupkom ređanja trouglova koji je osmislio matematičar Helg Koh krajem devetnaestog veka. Koh je uočio da ako se na jednakostranični trougao dodaju manji jednakostranični trouglovi na središnju trećinu svake njegove stranice, a zatim se ponovi taj postupak dodavanja sve manjih i manjih trouglova na središnje trećine stranica, na kraju će se dobiti oblik koji se danas naziva Kohovom pahuljom.
početni trougao: prva iteracija je:
druga, treća i četvrta
iteracija su:
Iako je dužina Kohove pahulje beskonačna (odnosno, dužina ove krive teži beskonačnosti), njena površina je konačna.
Neka je površina osnovnog trougla 1. Jednostavnom podelom trougla
vidimo da će manji trougao u sledećoj iteraciji imati devet puta manju
površinu. Površina sva tri trougla u prvoj iteraciji tada je 1/3 površine
početnog trougla. U sledećoj iteraciji imamo 12 trouglova ukupne površine 4/27,
a površina svih trouglova u sledećoj iteraciji je 16/243. Dakle, svi navedeni
članovi osim prvog obrazuju geometrijski niz sa količnikom 4/9.
Zbir je:
.
Ako dodamo još i površinu početnog trougla (koja nije deo
geometrijskog niza), dobićemo da je ukupna površina pahulje 8/5 površine početnog trougla.
Više o ovome, kao i o
fraktalima uopšte, možete pročitati OVDE.
